講義関係のお知らせ
工学院大学共通課程物理学教室 岡村 浩
§ケプラ−問題
テキストｐ．１６７〜１６９参照
テキストｐ．１８５〜１８８参照
［練習］単振動の解き方
Ｆ ＝−ｋｘ
ｍα ＝−ｋｘ
ｍ（ｄ／ｄｔ）ｖ ＝−ｋｘ
両辺にｖをかけて
ｍｖ（ｄ／ｄｔ）ｖ＝−ｋｘｖ
ｍｖ（ｄ／ｄｔ）ｖ＝−ｋｘ（ｄ／ｄｔ）ｘ
ここで
Ｋ ＝（１／２）ｍｖ２とおくと
（ｄ／ｄｔ）Ｋ ＝ｍｖ（ｄ／ｄｔ）ｖ
また
（ｄ／ｄｔ）（（１／２）ｋｘ２）＝ｋｘ（ｄ／ｄｔ）ｘ
∴
（ｄ／ｄｔ）（（１／２）ｍｖ２）＝−（ｄ／ｄｔ）（（１／２）ｋｘ２）
∴
（１／２）ｍｖ２＝−（１／２）ｋｘ２＋Ｅ Ｅは定数
ｋ ＝ｍω２
Ｅ ＝（１／２）ｍω２Ａ２
とおく。（秘伝）
（１／２）ｍｖ２＝−（１／２）ｍω２ｘ２＋（１／２）ｍω２Ａ２
ｖ２ ＝−ω２ｘ２＋ω２Ａ２
＝ ω２（Ａ２−ｘ２）
ｖ２≧０であるから −Ａ≦ｘ≦Ａ
ｔ＝０でｘ＝Ａとする。ｘは減少を始めるから
ｖ ＝−ω （Ａ２−ｘ２）１／２
ｘ＝−Ａに到達するとｖの符号は逆転して、
ｖ ＝ ω （Ａ２−ｘ２）１／２
となりｘ＝Ａにもどるまで続く。
ｘ ＝ Ａ→−Ａの場合を考える。
（ｄ／ｄｔ）ｘ ＝−ω （Ａ２−ｘ２）１／２
ｄｘ
――――――――――――― ＝ − ωｄｔ
（Ａ２−ｘ２）１／２
ここで
ｘ ＝ Ａｃｏｓθ
とおく。
注意）Ａ２−ｘ２≧０より、−ａ≦ｘ≦ａだからｘ＝Ａｃｏｓθとおいて
ｘのすべての値をつくしている。
こうおくと分母の中がきれいになる。また、θ＝０でｘ＝Ａ，θ＝πでｘ＝−Ａ
ｘ ＝Ａ→−Ａがθ＝０→π
ｘ ＝−Ａ→Ａがθ＝π→２πに対応する。
ｄｘ ＝−Ａｓｉｎθｄθ
Ａ２−ｘ２＝Ａ２−Ａ２ ｃｏｓ２θ
＝Ａ２ ｓｉｎ２ θ
（Ａ２−ｘ２）１／２ ＝Ａｓｉｎθ
θ＝０→πではｓｉｎθ≧０だから＋
∴
−Ａｓｉｎθｄθ
――――――――＝−ωｄｔ
ｓｉｎθ
ｄθ ＝ ωｄｔ
ｘ＝−Ａ→Ａはθ＝π→２πに対応し、
同様にこの式が成立する。
θ ＝ ωｔ＋Ｃ
この定数Ｃ＝０である。
ｘ ＝Ａｃｏｓωｔ
一般解は
ｘ ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋δ）
［註］ 秩iＡ２−ｘ２ ）−１／２ｄｘ＝ ｓｉｎ−１（ｘ／Ａ）＋定数
という公式の証明。ｘ＝Ａｓｉｎθとおくと同様にできる。
［ケプラ−問題］
太陽系で、太陽と惑星の間に（距離）−２の力
（万有引力）がはたらくとして、
ケプラーの３法則
（１）楕円軌道
（２）面積速度一定
（３）Ｔ２ がａ３に比例する。（但しＴは周期、ａは軌道の長半軸）
を導く。
角運動量の保存則のおかげで、平面運動を考えれば十分である。
ｚ＝０とする。
いくつか方法があるが、ここでは、
（１）（１／２）ｍｖ２−ｋ／ｒ＝Ｅ
（２）ｍｒ２ ｄφ／ｄｔ ＝Ｍ
の二つの保存則から導く。（２）はそのまま面積速度一定の法則に
つながる。
（１／２）ｖ２ − （ｋ／ｍ）／ｒ ＝ Ｅ／ｍ
ｒ２ ｄφ／ｄｔ＝Ｍ／ｍ
ここで（ｋ／ｍ）をｋ、Ｅ／ｍをＥ，Ｍ／ｍをＭをＥ
と略して議論を進める。
ｍ＝１の場合を考えていると言っても良い。
必要があれば、これからでてきた結果の式の中で、
ｋ，Ｅ，Ｍを各々ｋ／ｍ，Ｅ／ｍ，Ｍ／ｍとすれば
ｍ≠１の場合の一般の式が得られる。
（１／２）ｖ２ − ｋ／ｒ ＝ Ｅ
ｒ ＝（ｘ２＋ｙ２）１／２
ｘ ＝ｒｃｏｓ φ
ｙ ＝ｒｓｉｎ φ
（ｄｘ／ｄｔ）＝（ｄｒ／ｄｔ）ｃｏｓφ−ｒｓｉｎφ（ｄφ／ｄｔ）
（ｄｙ／ｄｔ）＝（ｄｒ／ｄｔ）ｓｉｎφ＋ｒｃｏｓφ（ｄφ／ｄｔ）
ｖ２ ＝（ｄｘ／ｄｔ）２ ＋ （ｄｙ／ｄｔ）２
＝｛（ｄｒ／ｄｔ）ｃｏｓφ−ｒｓｉｎφ（ｄφ／ｄｔ）｝２
＋｛（ｄｒ／ｄｔ）ｓｉｎφ＋ｒｃｏｓφ（ｄφ／ｄｔ）｝２
＝（ｄｒ／ｄｔ）２ｃｏｓ２ φ
−２ｒ（ｄｒ／ｄｔ）（ｄφ／ｄｔ）（ｃｏｓφｓｉｎφ）
＋ ｒ２（ｄφ／ｄｔ）２ｓｉｎ２φ
（ｄｒ／ｄｔ）２ｓｉｎ２ φ
＋２ｒ（ｄｒ／ｄｔ）（ｄφ／ｄｔ）（ｃｏｓφｓｉｎφ）
＋ｒ２（ｄφ／ｄｔ）２ｃｏｓ２φ
＝（ｄｒ／ｄｔ）２ （ｃｏｓ２ φ＋ｓｉｎ２ φ）
＋２ｒ（ｄｒ／ｄｔ）（ｄφ／ｄｔ）（ｃｏｓφｓｉｎφ−ｃｏｓφｓｉｎφ）
＋ｒ２（ｄφ／ｄｔ）２（ｃｏｓ２ φ＋ｓｉｎ２ φ）
＝（ｄｒ／ｄｔ）２＋ｒ２（ｄφ／ｄｔ）２
（噤jｃｏｓ２ φ ＋ ｓｉｎ２ φ ＝１）
よって
（１／２）｛（ｄｒ／ｄｔ）２ ＋ｒ２（ｄφ／ｄｔ）２｝−ｋ／ｒ＝Ｅ
エネルギ−の保存則
一方
ｄφ／ｄｔ＝Ｍ／ｒ２
∴
（１／２）（ｄｒ／ｄｔ）２ ＋（１／２）Ｍ２ ／ｒ２−ｋ／ｒ＝Ｅ
これは
（１／２）（ｄｒ／ｄｔ）２ ＋Ｕ有効＝Ｅ
の形に書ける。但しＵ有効＝（１／２）Ｍ２／ｒ２ −ｋ／ｒ
これはｒ→０で∞であり、ｒ→∞で０である。このことから、
Ｅ≧０の場合は、ｒはある値以上である。
Ｅ＜０の場合は、ｒはある値とある値の中間の値をとる。
さて、
（ｄｒ／ｄｔ）２＝２（Ｅ＋ｋ／ｒ）−Ｍ２／ｒ２
（ｄｒ／ｄｔ）＝｛２（Ｅ＋ｋ／ｒ）−Ｍ２／ｒ２｝１／２
但しｄｒ／ｄｔ＞０のとき、
ｔ＝０でｒ＝ｒmin であり、これからｒはｒmaxまで増加する。
その期間について考えている。
ｒ＝ｒmax →ｒminでは逆符号。
ｄφ／ｄｔ ＝Ｍ／ｒ２
まず軌道を求める。
ｄｒ／ｄｔ＝（ｄｒ／ｄφ）（ｄφ／ｄｔ）
より
ｄｒ／ｄφ＝（ｄｒ／ｄｔ）／（ｄφ／ｄｔ）
ｄｒ ｛２（Ｅ＋ｋ／ｒ）−Ｍ２／ｒ２｝１／２
―― ＝―――――――――――――――――――――――――
ｄφ Ｍ／ｒ２
Ｍ／ｒ２ ｄｒ
―――――――――――――――――――――――――――――――― ＝ｄφ
｛２（Ｅ＋ｋ／ｒ）−Ｍ２／ｒ２｝１／２
ｕ＝１／ｒとおく。
ｄｕ／ｄｒ＝−１／ｒ２
ｄｕ＝−１／ｒ２ ｄｒ
−Ｍｄｕ
――――――――――――――――――――――――――――――― ＝ｄφ
｛２（Ｅ＋ｋｕ）−Ｍ２ ｕ２｝１／２
−ｄｕ
―――――――――――――――――――――――――――――――――― ＝ｄφ
｛２（Ｅ＋ｋｕ）／Ｍ２ − ｕ２｝１／２
−ｄｕ
―――――――――――――――――――――――――――――――――― ＝ｄφ
｛２Ｅ／Ｍ２＋２ｋｕ／Ｍ２ − ｕ２｝１／２
−ｄｕ
―――――――――――――――――――――――――――――───―― ＝ｄφ
｛２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4 −（ｕ−ｋ／Ｍ２）２｝１／２
両辺を積分するのであるが、
∫−（Ａ２−ｘ２）-１／２ｄｘ＝Ａｒｃｃｏｓ（ｘ／ａ）＋Ｃ
がなじみがないといけないので、天下りだが、次のようにおく。
注意）左辺の分母の｛ ｝の中が０以上であることから、
−（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4）１／２
≦ｕ−ｋ／Ｍ２
≦（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4）１／２
が成立している。
ｕ−ｋ／Ｍ２＝（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4）１／２ｃｏｓθとおく。
すると
ｄｕ ＝（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4）（１／２）（−ｓｉｎθ）ｄθ
∴
−（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4）１／２（−ｓｉｎθ）ｄθ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――＝ｄφ
（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２／Ｍ4）１／２（１−ｃｏｓ２ θ）１／２
ｒ＝ｒmin→ｒmaxはθ＝０→πに対応し、そのときｓｉｎθ＞０だから
（１−ｃｏｓ２θ）１／２＝ｓｉｎθ
ｒ＝ｒmax→ｒminはθ＝π→２πに対応し、そのときはｄｒ／ｄｔの符号が逆転し、同時に
（１−ｃｏｓ２θ）１／２＝−ｓｉｎθが成立する。
なぜならｓｉｎθ＜０
∴
ｄθ＝ｄφ どちらの場合も成立する。
∴
θ＝φ＋定数 定数＝０と選ぶと θ＝φ
∴
ｕ−ｋ／Ｍ２＝（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２ ／Ｍ4）１／２ｃｏｓφ
これで、積分が実行できたことになる。
ｕ＝ｋ／Ｍ２＋（２Ｅ／Ｍ２＋ｋ２ ／Ｍ4）１／２ｃｏｓφ
＝ｋ／Ｍ２［１＋｛１＋２ＥＭ２／ｋ２｝１／２ ｃｏｓφ］
そこで
ｅ＝ （１＋２ＥＭ２／ｋ２）１／２：離心率（ｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙ）
とおく。
ｕ＝（ｋ／Ｍ２）（１ ＋ ｅ ｃｏｓ φ）
さらに
Ａ＝Ｍ２／ｋ とおけば
Ａ
ｒ＝――――――――
１＋ｅ ｃｏｓφ
Ｅ＞０ ｅ＞１ 双曲線
Ｅ＝０ ｅ＝１ 放物線
Ｅ＜０ ０≦ｅ＜１ 楕円
特に ｅ＝０ 円 Ｅ＝−（１／２）ｋ２／Ｍ２
これは前述のＵ有効の最小値である。
［ケプラ−の第１法則］
以下はＥ＜０の場合を考える。
Ｅ＜０ だから Ｅ＝−｜Ｅ｜
φ＝０ で ｃｏｓφ＝ １ ｒ＝Ａ／（１＋ｅ） 最小
φ＝π で ｃｏｓφ＝−１ ｒ＝Ａ／（１−ｅ） 最大
（１／２）Ａ｛１／（１＋ｅ） ＋１／（１−ｅ）｝＝Ａ／（１−ｅ２）
ａ＝Ａ／（１−ｅ２） これが楕円の長半軸である。
Ａ＝Ｍ２／ｋ ，１−ｅ２＝−２ＥＭ２／ｋ２＝２｜Ｅ｜Ｍ２／ｋ２
ａ＝（Ｍ２／ｋ）／（２｜Ｅ｜Ｍ２／ｋ２）
＝（ｋ／２）｜Ｅ｜−１
ａ はＭによらないことに注意
Ｅ＝−（１／２）（ｋ／ａ）
（Ｅ＝−｜Ｅ｜）
短半軸ｂは
ｂ＝Ａ／ （１−ｅ２）１／２ ［補足］を見よ。
＝Ａ１／２｛Ａ／ （１−ｅ２）｝１／２
＝（Ｍ２／ｋ）１／２ａ１／２
＝ （Ｍ／ｋ１／２）ａ１／２
［ケプラ−の第２法則］
ケプラーの第２法則は角運動量の保存則から導かれる。
ｒ２（ｄφ／ｄｔ）＝Ｍ
（１／２）ｒｄφ／ｄｔ＝Ｍ／２
これが面積速度である。
［ケプラーの第３法則］
これを利用して周期Ｔを手軽に求めることができる。
（１／２）ｒ２ｄφ＝（Ｍ／２）ｄｔ
両辺を１周期にわたって積分する。
左辺はφを０から２πまで積分、右辺はｔを０から周期Ｔまで積分する。
左辺は 楕円の面積 πａｂになる。
右辺は （Ｍ／２）Ｔ
したがって
（Ｍ／２）Ｔ＝πａｂ
Ｔ＝（２／Ｍ）πａｂ
＝（２π／Ｍ）ａ（Ｍ／ｋ１／２）ａ１／２
＝（２π／ｋ１／２）ａ３/２
これがケプラ−の第３法則である。
ｋ＝ＧＭ
Ｇは万有引力定数
Ｍは太陽の質量
ａを地球の公転の長半軸とすればＴは１年となる。
Ｍを地球の質量、ａを月の公転の長半軸とすればＴは１月となる。
いろんな惑星や衛星について、数値的に確かめてみよ。
［補足］
Ａ
ｒ＝――――――――
１＋ｅｃｏｓφ
r(１＋ｅｃｏｓφ)＝Ａ
r＋ｅｘ＝Ａ
r＝Ａ−ｅｘ
ｒ２＝（Ａ−ｅｘ）２
ｘ２＋ｙ２＝（Ａ−ｅｘ）２
＝Ａ２−２ｅＡｘ＋ｅ２ ｘ２
（１−ｅ２）ｘ２＋２ｅＡｘ＋ｙ２＝Ａ２
ｅ＝１とすると
２Ａｘ＋ｙ２＝Ａ２だからｘ＝（１／２）Ａ−（１／２Ａ）ｙ２
で放物線
ｅ≠１とする。
（１−ｅ２）｛ｘ＋ｅＡ／（１−ｅ２）｝２＋ｙ２
＝Ａ２＋ｅ２Ａ２／（１−ｅ２）
＝Ａ２（１−ｅ２＋ｅ２）／（１−ｅ２）
＝Ａ２／（１−ｅ２）
（１−ｅ２）２｛ｘ＋ｅＡ／（１−ｅ２）｝２＋（１−ｅ２）ｙ２＝Ａ２
∴
｛ｘ＋ｅＡ／（１−ｅ２）｝２ ｙ２
―――――――――――――― ＋ ――――――――――――― ＝１
｛ Ａ／（１−ｅ２） ｝２ ｛Ａ／（１−ｅ２）（１／２）｝２
これが楕円の標準形で、
長半軸は Ａ／（１−ｅ２），
短半軸は Ａ／（１−ｅ２）１／２
楕円の中心はｅＡ／（１−ｅ２）だけ左にずれる。
［補足］ｒ＝ｒ（ｔ）を求めるにはパラメタ表示を使う。
ｄｒ／ｄｔ＝｛２（Ｅ＋ｋ／ｒ）−Ｍ２ ／ｒ２｝１／２
ｄｒ
ｄｔ＝ ―――――――――――――――――――――――――――――
｛２（Ｅ＋ｋ／ｒ）−Ｍ２／ｒ２｝１／２
ｒｄｒ
＝ ―――――――――――――――――――――――――――――
｛２（−｜Ｅ｜ｒ２ ＋ｋｒ）−Ｍ２｝１／２
ｒｄｒ
＝ ――――――――――――――――――――――――――――――――
［２｜Ｅ｜｛−ｒ２＋（ｋ／｜Ｅ｜）ｒ｝−Ｍ２／２｜Ｅ｜｝］１／２
｛（２｜Ｅ｜｝１／２ ｄｔ
ｒｄｒ
＝―――――――――――――――――――――――――――――――――――
［｛−ｒ２＋（ｋ／｜Ｅ｜）ｒ｝−Ｍ２／２｜Ｅ｜］１／２
ｒｄｒ
＝――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
[−｛ｒ−（ｋ／２│Ｅ│）｝２−Ｍ２／２｜Ｅ｜＋ｋ２／４｜Ｅ｜２]１／２
ｒｄｒ
＝―――――――――――――――――――――――――――――――――――
［−｛ｒ−（ｋ／２｜Ｅ｜）｝２＋ｋ２／４｜Ｅ｜２（１−２Ｍ２｜Ｅ｜／ｋ２］１／２
ｒｄｒ
＝―――――――――――――――――――――
［−｛ｒ−ａ）２＋ａ２ｅ２］１／２
メモ
ｅ＝（１−２｜Ｅ｜Ｍ２／ｋ２）１／２，
ａ＝（ｋ／２｜Ｅ｜）
そこでｒ−ａ＝−ａｅｃｏｓχとおく ！
ｒ＝ａ（１−ｅｃｏｓχ） χ＝０で最小、χ＝πで最大
ｄｒ＝ａｅｓｉｎχｄχ
［−（ｒ−ａ）２＋ａ２ｅ２］１／２
＝ａｅ（１−ｃｏｓ２χ）１／２
＝ａｅｓｉｎχ
∴
ａ（１−ｅｃｏｓχ）（ａｅｓｉｎχｄχ）
―――――――――――――――――――――＝｛２｜Ｅ｜｝１／２ ｄｔ
ａｅｓｉｎχ
ａ（１−ｅｃｏｓχ）ｄχ＝｛２｜Ｅ｜｝１／２ｄｔ
∴
ａ（χ−ｅｓｉｎχ）＝｛２｜Ｅ｜｝１／２ｔ
ｒ＝ａ（１−ｅｃｏｓχ）
ｔ＝（２｜Ｅ｜）−１／２ ａ（χ−ｅｓｉｎχ）
χ＝０でｔ＝０
ｔ＝ （ｋ／ａ）−１／２ａ（χ−ｅｓｉｎχ）
＝ ａ３/２／ｋ１／２（χ−ｅｓｉｎχ）
まとめて
ｒ＝ａ（１−ｅｃｏｓχ）
ｔ＝ａ３/２／ｋ１／２（χ−ｅｓｉｎχ）
ｒ＝ｒ（ｔ）はχを通じて間接的に決められる。
χが２πだけ変化すると１周期
Ｔ＝ ２πａ３/２／ｋ１／２
ｔ＝（Ｔ／２π）（χ−ｅｓｉｎχ）
そこで ω＝２π／Ｔ
とおくと
ωｔ＝χ−ｅｓｉｎχ
これをケプラーの公式という。
［補足］有効ポテンシャル
（１／２）（ｄｒ／ｄｔ）２ ＋（１／２）Ｍ２ ／ｒ２−ｋ／ｒ＝Ｅ
これは
（１／２）（ｄｒ／ｄｔ）２ ＋Ｕ有効（ｒ）＝Ｅ
の形に書ける。但しＵ有効（ｒ）＝（１／２）Ｍ２／ｒ２ −ｋ／ｒ
これはｒ→０で∞であり、ｒ→∞で０である。このことから、
Ｅ≧０の場合は、ｒはある値以上である。
Ｅ＜０の場合は、ｒはある値とある値の中間の値をとる。
本文のこの部分をくわしく説明する。
（１）Ｕ有効の最小値
ｕ＝１／ｒについて計算した方がわかりやすい。
Ｕ有効（ｕ）＝（１／２）Ｍ２ ｕ２ −ｋｕ
ｄＵ有効（ｕ）／ｄｕ＝Ｍ２ ｕ−ｋ＝０
より
ｕ＝ｋ／Ｍ２
のときが最小で、
そのとき
Ｕ有効＝（１／２）Ｍ２（ｋ／Ｍ２）２−ｋ（ｋ／Ｍ２）
＝（−１／２）ｋ２ ／Ｍ２
即ち、Ｅ≧（−１／２）ｋ２ ／Ｍ２ が必要で、
Ｅ＝（−１／２）ｋ２ ／Ｍ２の時には、
ｕ＝ｋ／Ｍ２，ｒ＝Ｍ２／ｋで一定である。
円運動となる。実際この時離心率ｅが０となる。
（２）ｒの範囲
Ｅ≧（−１／２）ｋ２ ／Ｍ２とする。
ｕの範囲は
Ｕ有効（ｕ）＝Ｅの根からわかる。
（１／２）Ｍ２ ｕ２ −ｋｕ＝Ｅ
ｕ２−（２ｋ／Ｍ２）ｕ＝２Ｅ／Ｍ２
（ｕ−ｋ／Ｍ２）２＝２Ｅ／Ｍ２ ＋ｋ２／Ｍ4
ｕ＝ｋ／Ｍ２±（２Ｅ／Ｍ２ ＋ｋ２／Ｍ4）１／２
＝（ｋ／Ｍ２）｛１±（１＋２ＥＭ２／ｋ２）１／２｝
＝（ｋ／Ｍ２）（１±ｅ）
ここでｅ＝（１＋２ＥＭ２／ｋ２）１／２
は離心率である。
結果が本文と一致しているが、計算の経過を見ると一致するのが自然なことが
わかるだろう。Ｅ＝−（１／２）（ｋ２／Ｍ２）のとき、ｅ＝０となる。
ｒ＝（Ｍ２／ｋ）／（１±ｅ）
Ａ＝Ｍ２／ｋとおけば、
ｒ＝Ａ／（１±ｅ）
Ａ／（１＋ｅ）≦ｒ≦Ａ／（１−ｅ）
楕円軌道は本文だが、ｒの範囲程度は有効ポテンシャルからわかる。
Ｅ≧０の場合に放物線、双曲線となることも理解できる。
［問］原点ｒ＝０が楕円の焦点であることを証明せよ。
（ヒント もうひとつの焦点は（−２ｅＡ／（１−ｅ２），０）の点である。）
楕円上の１点と、もうひとつの焦点との間の距離をｒ’とする。
（ｒ’）２＝［Ａｃｏｓφ／（１＋ｅｃｏｓφ）＋２ｅＡ／（１−ｅ２）］２
＋［Ａｓｉｎφ／（１＋ｅｃｏｓφ）］２
ｓｉｎ２ φ＝１−ｃｏｓ２ φによって整理すると、因数分解できて
１ ＋ ｅ２ ＋ ２ｅｃｏｓφ
ｒ’＝―――――――――――――――――Ａ
（１＋ｅｃｏｓφ）（１−ｅ２）
が証明できる。
ｒ＋ｒ’＝２ａ
［問］ｅ＝１のとき放物線、ｅ＞１のとき双曲線となることを確かめよ。
［問］長半軸ａ短半軸ｂの楕円の面積がπａｂであることを証明せよ。
（ヒント
半径ａの円の面積はπａ２ 、このときｙ＝±（ａ２ −ｘ２ ）１／２
今の場合は ｙ＝±（ｂ／ａ）（ａ２ −ｘ２ ）１／２
したがって面積は（ｂ／ａ）倍になる。
［問］Ｕ有効（ｒ）＝Ｍ２／２ｍｒ２−ｋ／ｒの最小値を求めよ。
Ｅがこの値をとるとき、円軌道になる。
［問］ｚ＝−ｋ（ｘ２ ＋ ｙ２ ）−1で表される斜面があったとしよう。
その場合に、重力Ｆ ＝−ｍｇ がはたらくとすると、
その運動は今考えている運動と似ているであろう。
なんらかの意味でまったく同じであろうか。それとも近似的に似ているだけであろうか。
［問］ケプラーの第３法則を実際の惑星の値で確かめよ。
ハレー彗星はどうか。
［問］ケプラー問題をパソコンで数値的に解き、それをグラフィックスで表せ。
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