講義関係のお知らせ

６：波（第２回）             

テキストｐ．５５〜ｐ．７６
［準備］三角関数

ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓα  ｃｏｓβ  −  ｓｉｎα  ｓｉｎβ

ｃｏｓ（α−β）＝ｃｏｓα  ｃｏｓβ  ＋  ｓｉｎα  ｓｉｎβ

∴

ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α−β）＝２ｃｏｓα  ｃｏｓβ

ここで

Ａ　　＝α＋β，Ｂ　　＝α−β  とおくと

Ａ＋Ｂ＝２α，　Ａ−Ｂ＝２β

∴

α＝（Ａ＋Ｂ）／２，β＝（Ａ−Ｂ）／２                                        

∴

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓ｛（Ａ＋Ｂ）／２｝ｃｏｓ｛（Ａ−Ｂ）／２｝　

ある学生曰く、

高校の数学の公式はさすがの私でもわかったらしい。
だからわからなかった人はいなかったらしく

「中学生でもわかるぜ」

という声があちこちで聞こえていた。 

私としてはそれで満足です。

   §重ね合せの原理

［準備］和の微分は微分の和

（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））’＝ｆ’（ｘ）＋ｇ’（ｘ）

証）数学の教科書を見よ。

Φ１ ，Φ２ が波動方程式の解なら

Φ１ ＋Φ２ 　も解

証）

仮定により

{（∂２/∂x２)−(1/c２)(∂２/∂t２）}Φ１＝０                                                 
{（∂２/∂x２)−(1/c２)(∂２/∂t２）}Φ２＝０                                                 
∴

{（∂２/∂x２)−(1/c２)(∂２/∂t２）}（Φ１＋Φ２）＝０                                        
§例１  干渉

Φ１＝Ａｃｏｓ（ｋｘ−ωｔ）

Φ２＝Ａｃｏｓ｛ｋ（ｘ＋ｄ）−ωｔ｝

                       

Φ１＋Φ２＝２Ａｃｏｓ[｛ｋｘ−ωｔ＋ｋ（ｘ＋ｄ）−ωｔ}/2] 

                       

              ｃｏｓ[ｋｘ−ωｔ−{k (ｘ＋ｄ）−ωｔ｝/2]                

                         

        ＝２Ａｃｏｓ[ｋ{ｘ＋(d/2)}−ωｔ] ｃｏｓ（-kd/2)    

                         

 ＝２Ａｃｏｓ[ｋ{ｘ＋(d/2)}−ωｔ] ｃｏｓ（kd/2)    
      

ｃｏｓ（kd/2）を考える                                                  

ｄ＝０  なら  １

ｄ＝λ／２  のときｋｄ／２＝ｋλ／４＝２π／４＝π／２                                    

    ｃｏｓ（π／２）＝０

                    よって二つの波は打ち消しあう

ｄ＝λ  のとき

    ｃｏｓ（ｋｄ／２）＝ｃｏｓ  π＝−１      あれ！                        

このとき

ｃｏｓ｛ｋ（ｘ＋ｄ／２）−ωｔ｝＝ｃｏｓ（ｋｘ−ωｔ＋π）

＝−ｃｏｓ（ｋｘ−ωｔ）

ゆえに

Φ１＋Φ２＝２Ａｃｏｓ（ｋｘ−ωｔ）

物理的には、重要

ヤングの実験

干渉縞

電子が波というようなことも、干渉縞が発見されたことによって言える。

§例２定常波（定在波）

ｓｔａｎｄｉｎｇ　ｗａｖｅ

Φ１＝Ａｃｏｓ（ｋｘ−ωｔ）

Φ２＝Ａｃｏｓ（ｋｘ＋ωｔ）

Φ１＋Φ２＝２Ａｃｏｓ［（１／２）｛ｋｘ−ωｔ＋（ｋｘ＋ωｔ）｝］
　　　　　　　　ｃｏｓ［（１／２）｛ｋｘ−ωｔ−（ｋｘ＋ωｔ）｝］
　　　　　＝２Ａｃｏｓ（ｋｘ）ｃｏｓ（−ωｔ）

        　＝２Ａｃｏｓ（ｋｘ）ｃｏｓ（ωｔ）

ｔ＝０，（１／８）Ｔ，（１／４）Ｔ，（３／８）Ｔ，（１／２）Ｔ
の間に
ｃｏｓωｔ　は
１，　　　１／√２　，　　０　　　，−１／√２　，　−１
と変化する。

これは右にも左にも行かずに、振動する例である。　


§例３　群速度

Φ１＝Ａｃｏｓ（ｋ１ｘ−ω１ｔ）

Φ２＝Ａｃｏｓ（ｋ２ｘ＋ω２ｔ）

但しｋ１〜ｋ２，ω１〜ω２

                    

Φ１＋Φ２＝２Ａｃｏｓ[{(ｋ１ +ｋ２)/2}ｘ  − {(ω１+ω２)/2}ｔ]              



            ２Ａｃｏｓ[{(ｋ１ -ｋ２)/2}ｘ  − {(ω１-ω２)/2}ｔ]  
             

 
                                            

      　＝２Ａｃｏｓ（ｋｘ−ωｔ）ｃｏｓ（ �凾汲�−�刄ﾖｔ ）             

但し、                                          

(ｋ１＋ｋ２)/2＝ｋ，           (ω１＋ω)/2＝ω

                        



(ｋ１−ｋ２)/2＝�凾求C  (ω１−ω２)/2　＝�刄ﾖ

ω／ｋが位相速度

それに対し

�刄ﾖ／�凾汲�群速度という。

媒質の中の電磁波のように、異なるｋの波の連続的な重ね合わせの場合がある。

ω＝ω（ｋ）として、

ｄω／ｄｋが群速度となる。

ω１＝ｃｋ１，ω２＝ｃｋ２なら�刄ﾖ／�凾求≠�         ！


§固定端の振動（やや高級）

波動方程式

(∂２/∂x２)　Φ（ｘ，ｔ）＝(1/c２)(∂２ /∂t２）Φ（ｘ，ｔ）                                       
を、境界条件

Φ（０，ｔ）＝Φ（０，ａ）＝０

の下で解く。長さａの弦の振動をイメージする。

Φ（ｘ，ｔ）＝ΦＸ（ｘ，ｔ）ΦＴ（ｘ，ｔ）
とおく。

代入すると、

(ｄ２/d x２)　ΦＸ（ｘ）ΦＴ（ｔ）
＝ΦＸ（ｘ）ΦＴ（ｔ）(1/c２)(ｄ２/t２）ΦＴ（ｔ）                                
両辺を　ΦＸ（ｘ）ΦＴ（ｔ）で割ると

(ｄ２/d x２)　ΦＸ（ｘ）／ΦＸ（ｘ）＝(1/c２)(ｄ２/ｔ２）ΦＴ（ｔ）／ΦＴ（ｔ）                                
左辺はｘだけの関数、右辺はｔだけの関数。

これが等しいことは起こり得るかというと、

共に定数という場合なら良い。この定数は正ではまずいことがわかるので、

−ｋ２とおく。

すると、

(ｄ２/ｄ x２）ΦＸ（ｘ）＝−ｋ２ΦＸ（ｘ）

(ｄ２/ｄｔ２）ΦＴ（ｔ）＝−ω２ΦＴ（ｔ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ω＝ｃｋ）
これを別々に考える。

ΦＸ（ｘ）＝Ａｃｏｓ（ｋｘ）＋Ｂｓｉｎ（ｋｘ）

条件
ΦＸ（０）＝ΦＸ（ａ）＝０

が満たされなければならない。                          

まず

ΦＸ（０）＝０より、Ａ＝０

ΦＸ（ｘ）＝Ｂｓｉｎ（ｋｘ）

ΦＸ（ａ）＝より、Ｂｓｉｎ（ｋａ）＝０

Ｂ＝０だとなくなってしまうから、

ｓｉｎ（ｋａ）＝０

∴
ｋａ＝ｎπ　但し、ｎは整数

ｎとして０は除き、負はＢに吸収して

ｋａ＝ｎπ（ｎ＝１，２，３・・・）

ｋ＝ｎπ／ａ

ω＝ｎπｃ／ａ

ｎ＝１，２，３の場合のΦＸ（ｘ）をグラフに描く。

ΦＴ（ｔ）＝ｃｏｓ（ωｔ＋δ）

境界条件のために、ｋ（およびω）の値に制限がついた。

現代の古典物理ｐ．１９９  図２２−３

実はこの図は
現代の古典物理ｐ．１０７  図１１−２
と同じである。量子力学のシュレーディンガー方程式を解くときとに
まったく同じ計算をするのである。