量子力学入門

§６  井戸型ポテンシャル（１）−無限に深い井戸型ポテンシャル−

電子を０≦ｘ≦ａに閉じこめる。

Ｕ（ｘ）＝　∞　（ｘ≦０，ｘ≧ａ）
Ｕ（ｘ）＝　０　（０＜ｘ＜ａ）

シュレーディンガー方程式

｛−（ｈ’２／２ｍ）（ｄ２／ｄｘ２）＋Ｕ（ｘ）｝Ψ（ｘ）＝ＥΨ（ｘ）

Ψ（ｘ，ｔ）＝Ψ（ｘ）ｅｘｐ｛−ｉ（Ｅ／ｈ’）ｔ｝

（１）

ｘ≦０，ｘ≧ａでΨ（ｘ）＝０　題意

（２）

０＜ｘ＜ａ ではＵ（ｘ）＝０だから
−（ｈ’２／２ｍ）（ｄ２／ｄｘ２）Ψ（ｘ）＝ＥΨ（ｘ）

Ｅ＝（ｈ’２／２ｍ）ｋ２とおくと


−（ｈ’２／２ｍ）（ｄ２／ｄｘ２）Ψ（ｘ）
＝（ｈ’２／２ｍ）ｋ２Ψ（ｘ）


（ｄ２／ｄｘ２）Ψ（ｘ）＝−ｋ２Ψ（ｘ）

（３）
Ψ（ｘ）＝Ａｃｏｓ（ｋｘ）＋Ｂｓｉｎ（ｋｘ）
　　　　　　　　　　常識！

（４）
Ψ（ｘ）はｘ＝０で連続

Ψ（０）＝０

Ａ・１＋Ｂ・０＝０

Ａ＝０

∴
Ψ（ｘ）＝Ｂｓｉｎ（ｋｘ）

（５）
Ψ（ａ）＝０
Ψ（ａ）＝Ｂｓｉｎ（ｋａ）＝０

∴
ｋａ＝ｎπ（但し、ｎ＝１，２，３，．．．）

ｋ＝ｎπ／ａ　　

∴
Ψ（ｘ）＝Ｂｓｉｎ｛（ｎπ／ａ）ｘ｝

Ｅ＝（ｈ’２／２ｍ）ｋ２
　＝（ｈ’２／２ｍ）（ｎπ／ａ）２
　＝（ｈ’２／２ｍ）（π／ａ）２　ｎ２

ｎ２に比例する、とびとびの値となる。

（６）
ｎ＝１，２，３について
Ψ（ｘ）をグラフに描け。
Ψ（ｘ）の絶対値の２乗をグラフに描け。
（略：現代の古典物理ｐ．１０７ 図１１−２、１１−３）。

［補足１］
ｓｉｎ（ｋｘ）
＝（１／２ｉ）｛ｅｘｐ（ｉｋｘ）−ｅｘｐ（−ｉｋｘ）｝
だから、この結果は右に進む波と左に進む波の重ね合わせである。

［補足２］波と考えた時の、固定端の振動と似た結果である。

波動方程式

（∂２／∂ｘ２）Φ（ｘ，ｔ）＝
（１／ｃ２）（∂２／∂ｔ２）Φ（ｘ，ｔ）

を条件
Φ（０，ｔ）＝Φ（ａ，ｔ）＝０
で解く。
変数分離して、
Φ（ｘ，ｔ）＝Φ（ｘ）ｃｏｓ（ωｔ＋δ）

（ｄ２／ｄｘ２）Φ（ｘ）＝−ｋ２Φ（ｘ）

但し   ω＝ｃｋ

Φ（ｘ）＝Ａｃｏｓ ｋｘ ＋  Ｂｓｉｎ ｋｘ
Φ（０）＝０より、Ａ＝０
Φ（ｘ）＝Ｂｓｉｎｋｘ

Φ（ａ）＝０より
ｋａ＝ｎπ

［補足３］
規格化
電子の存在の全確率は１である。

∫−∞∞｜Ψ（ｘ）｜２ｄｘ＝１

∫０ａ｜Ψ（ｘ）｜２ｄｘ＝１

∴

Ｂ２∫０ａｓｉｎ２（ｎπ／ａ）ｘ ｄｘ＝１

ｓｉｎ２（ｎπ／ａ）ｘ＝（１／２）｛１−ｃｏｓ（２ｎπ／ａ）ｘ｝
より

∫０ａｓｉｎ２（ｎπ／ａ）ｘ ｄｘ＝ａ／２

∴

Ｂ＝（２／ａ）１／２